TUTORIELS 
Les techniques de compression: les ondelettes
Outil mathématique puissant, la compression par ondelettes offre de meilleurs résultats que le JPEG. Inclue dans le nouveau format "JPEG 2000", cette technologie est de plus en plus utilisée.  (23 octobre 2001)
 

Analyse des signaux, compression d'images, traitement du son, géologie, les champs d'application des ondelettes sont nombreux. La théorie sur laquelle repose cette technologie est pourtant récente : début des années 1980. Bien que plusieurs scientifiques aient contribué à ce projet, le géophysicien français Jean Morlet est généralement reconnu comme étant le père de cette méthode de compression.

Principe de fonctionnement

De même que le "JPEG", la compression d'images par ondelettes est une méthode "destructrice", c'est à dire que lors de la compression, des informations sont définitivement perdues par rapport à l'image originale.

Des informations perdues, oui, mais pas n'importe comment. Cette technique permet en effet de compresser différemment des zones de l'image selon la quantité d'informations détenues par celles-ci.
En fait, les zones à fort contraste sont considérées comme des zones à "hautes fréquences" et à l'inverse, les zones à faible contraste sont dites "basses fréquences".
Les ondelettes appliquent une méthode d'approche qui est globale à l'image, ceci permet d'éviter le phénomène de mosaïque propre à la technologie JPEG (approche par blocs) dès que le taux de compression devient trop élevé.

Un peu de mathématique : l'héritage de la transformée de Fourier

C'est inévitable, derrière une telle méthode de compression on retrouve forcément tout un arsenal scientifique. Notre propos n'est pas ici de faire des mathématiques, c'est pourquoi nous nous contenterons de survoler ces équations (relativement) complexes.

L'idée est de construire une représentation qui fait à la fois apparaître des informations temporelles et fréquentielles. Ce type de représentation peut par exemple aider à représenter la structure physique de la structure géologique à l'origine du signal, c'est d'ailleurs dans ce domaine que les ondelettes ont démarré leur "carrière". Dans ce type de graphique les variations de fréquence vont représenter ces fameuses zones, contrastées ou pas. Selon le type de zone détectée, la compression ne sera pas appliquée de la même façon.

On dit que l'analyse d'un signal par les ondelettes est similaire à l'analyse de Fourier puisqu'elle transforme aussi un signal en ses principaux constituants afin de l'analyser. Cependant, la transformée de Fourier ne suffit plus ici. Elle est en effet incapable de détecter quelles portions du signal varient lentement ou rapidement, or nous avons besoin de distinguer les zones riches en information de celles qui ne le sont pas.

Avec les ondelettes le signal est découpé en différents morceaux qui sont des versions translatées et dilatées d'une même fonction appelée "ondelette mère". Le concept d'échelle apparaît. Il en résulte une une superposition d'ondelettes décalées et dilatées qui ne différent entre elles que par leur taille. On obtient une "transformée en ondelettes", fonction composée de deux variables : le temps et l'échelle (la dilatation).

Le point fort de cette technique est que les ondelettes s'adaptent en fonction des caractéristiques recherchées : Hautes fréquences (l'ondelette est très fine) ou basses fréquences (l'ondelette s'étire). Cette particularité a un nom : "Multi-résolution".

DWT : Discrete Wavelet Transform

La DWT est une méthode de compression, à base d'ondelettes, utilisée par le format émergent (en passe de devenir un standard international) JPEG 2000, successeur du JPEG, qui lui est à base de DCT (Discrete Cosine Transform).
Grâce à l'utilisation des ondelettes, ce format bénéficie d'une compression 50 à 100 fois supérieure à son ancêtre JPEG, tout en conservant une bien meilleure définition des détails sur l'image finale. Celle-ci peut de plus être téléchargée de manière progressive.

Bien loin d'une démonstration mathématique, cet exposé sur la technologie des ondelettes au service de la compression d'images doit néanmoins permettre au lecteur d'en comprendre les principes, et peut-être éveiller son intérêt. Si vous souhaitez en savoir plus, vous pouvez ainsi consulter les liens suivants :
- Schéma de décomposition du signal en ondelettes (bas de page).
- La page d'un mathématicien spécialiste du signal
- Un algorithme de calcul des coefficients des ondelettes de Haar

 
[ Arnaud GadalJDNet
 
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