Analyse des signaux, compression d'images, traitement du son, géologie,
les champs d'application des ondelettes sont nombreux. La théorie
sur laquelle repose cette technologie est pourtant récente
: début des années 1980. Bien que plusieurs scientifiques
aient contribué à ce projet, le géophysicien
français Jean Morlet est généralement reconnu
comme étant le père de cette méthode de compression.
Principe de fonctionnement
De même que le "JPEG",
la compression d'images par ondelettes est une méthode "destructrice",
c'est à dire que lors de la compression, des informations
sont définitivement perdues par rapport à l'image
originale.
Des informations perdues, oui, mais pas n'importe comment. Cette
technique permet en effet de compresser différemment des
zones de l'image selon la quantité d'informations détenues
par celles-ci.
En fait, les zones à fort contraste sont considérées
comme des zones à "hautes fréquences"
et à l'inverse, les zones à faible contraste sont
dites "basses fréquences".
Les ondelettes appliquent une méthode d'approche qui est
globale à l'image, ceci permet d'éviter le phénomène
de mosaïque propre à la technologie JPEG (approche par
blocs) dès que le taux de compression devient trop
élevé.
Un peu de mathématique : l'héritage
de la transformée de Fourier
C'est inévitable, derrière une telle méthode
de compression on retrouve forcément tout un arsenal scientifique.
Notre propos n'est pas ici de faire des mathématiques, c'est
pourquoi nous nous contenterons de survoler ces équations
(relativement) complexes.
L'idée est de construire une représentation qui fait
à la fois apparaître des informations temporelles
et fréquentielles. Ce type de représentation
peut par exemple aider à représenter la structure
physique de la structure géologique à l'origine du
signal, c'est d'ailleurs dans ce domaine que les ondelettes ont
démarré leur "carrière". Dans ce
type de graphique les variations de fréquence vont représenter
ces fameuses zones, contrastées ou pas. Selon le type de
zone détectée, la compression ne sera pas appliquée
de la même façon.
On dit que l'analyse d'un signal par les ondelettes est similaire
à l'analyse de Fourier puisqu'elle transforme aussi
un signal en ses principaux constituants afin de l'analyser. Cependant,
la transformée de Fourier ne suffit plus ici. Elle est en
effet incapable de détecter quelles portions du signal varient
lentement ou rapidement, or nous avons besoin de distinguer les
zones riches en information de celles qui ne le sont pas.
Avec les ondelettes le signal est découpé en différents
morceaux qui sont des versions translatées et dilatées d'une même
fonction appelée "ondelette mère". Le concept d'échelle
apparaît. Il en résulte une une superposition d'ondelettes
décalées et dilatées qui ne différent entre elles que par
leur taille. On obtient une "transformée en ondelettes",
fonction composée de deux variables : le temps et l'échelle
(la dilatation).
Le point fort de cette technique est que les ondelettes s'adaptent
en fonction des caractéristiques recherchées : Hautes
fréquences (l'ondelette est très fine) ou basses fréquences
(l'ondelette s'étire). Cette particularité a un nom
: "Multi-résolution".
DWT : Discrete Wavelet Transform
La DWT est une méthode de compression, à base d'ondelettes, utilisée
par le format émergent (en passe de devenir un standard
international) JPEG
2000, successeur du JPEG, qui lui est à base de
DCT (Discrete Cosine Transform).
Grâce à l'utilisation des ondelettes, ce format bénéficie
d'une compression 50 à 100 fois supérieure à
son ancêtre JPEG, tout en conservant une bien meilleure définition
des détails sur l'image finale. Celle-ci peut de plus être
téléchargée de manière
progressive.
Bien loin d'une démonstration mathématique, cet exposé
sur la technologie des ondelettes au service de la compression d'images
doit néanmoins permettre au lecteur d'en comprendre les principes,
et peut-être éveiller son intérêt. Si
vous souhaitez en savoir plus, vous pouvez ainsi consulter les liens
suivants :
-
Schéma de décomposition du signal en ondelettes
(bas de page).
-
La page d'un mathématicien spécialiste du signal
-
Un algorithme de calcul des coefficients des ondelettes de Haar
|