On peut facilement calculer le temps que va mettre une population à doubler
en fonction de son taux d'accroissement. Et, comme nous allons le voir, le résultat
est vertigineux.
Mais d'abord, comment obtient-on ce taux d'accroissement ? On part de l'effectif
P(t) à l'année t. Un an plus tard, la population compte P(t+1) habitants.
Il ne reste plus qu'à rapporter l'accroissement P(t+1) - P(t) à l'effectif
global de la population.
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Pour la France, le taux d'accroissement est de 0,4%.
Au Niger, un pays encore largement sous-développé, la population croît à un rythme
bien supérieur : 3,3% chaque année. Il suffit de lire le graphique pour trouver
alors le temps que vont mettre ces deux populations à doubler
Source : IRD © L'Internaute Magazine
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Un doublement en 21 ans pour le Niger
Cependant, pendant cette période, la population de départ a augmenté. Si on
prend P(0) comme année de référence, on a donc en fait un an après : P(1)
= P(t) + a P(0), soit P(0) x (1+ a)
Et deux ans après : P(2) = P(1) x (1+a) = P(0) x (1+a)²
Bref, t années plus tard, j'ai P(t) = P(0) x (1+a)t
L'accroissement annuel relatif se calcule donc par la formule :
On peut obtenir le temps de doublement grâce à la courbe (voir
ci-dessus), qui représente le logarithme néperien de 2. On peut
aussi le vérifier par un simple calcul.
La population a doublé lorsque P(t) = 2 P(0)
Donc 2 P(0) = P(0) x (1+a)t
Et 
Or, si a est petit (comme c'est le cas ici, puisque a varie entre 0,004
et 0,033), on peut considérer que ln (1+a) est à peu près égal à a.
Donc 
En France, la population aura doublé en 0,693 / 0,004 = 173 ans Au Niger, il
suffira de 0,693 / 0,033 = 21 ans. En considérant bien sûr que le taux d'accroissement
reste constant (ce qui dans la réalité n'est que rarement le cas).
