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| Trouver des points sur des courbes elliptiques, voilà en quoi consiste la conjecture de Birch et Swinnerton-Dyer. © DR |
Dans quels cas une équation a-t-elle des solutions ? Comment les trouver ?
Cette conjecture de Birch et Swinnerton-Dyer, née dans les années 60 grâce à 2 mathématiciens brittaniques, provient de mathématiques très élaborées, mais on peut en trouver un parallèle.
A l'époque de la Grèce Antique, les savants se posaient la question suivante : étant donné un entier positif d, existe-t-il un triangle rectangle dont les côtés soient des nombres rationnels (qui s'expriment sous la forme d'une fraction), et dont l'aire vaille d ? Pour d=6, oui ; pour d=5, non. On peut par la suite montrer que la réponse est positive si l'équation 
admet des solutions rationnelles pour x et y différents de 0. Voilà pour le problème des Grecs.
Celui de Birch et Swinnerton-Dyer est similaire : il s'agit de trouver et compter les points rationnels sur des courbes elliptiques particulières. Des quoi ? Des courbes elliptiques, encore des objets mathématiques fondamentaux pour les mathématiciens, s'appellent ainsi car on les rencontre lorsqu'on calcule des longueurs d'arc sur des ellipses.
Le dénombrement de l'infini
| "Pour un mathématicien, la compréhension de cette conjecture demande des semaines de travail" |
Si le problème de Birch et Swinnerton-Dyer consiste à trouver des points, où est la difficulté ? Eh bien, le problème, c'est qu'on s'intéresse à des ensembles infinis. Et pour dénombrer des ensembles infinis, cela implique de s'intéresser à l'arithmétique modulaire (celle qui nous sert à compter les minutes "modulo 60" et les heures "modulo 24") et d'aborder des formules complexes.
D'ailleurs, aller plus loin est difficile : pour un mathématicien averti de plus de 30 ans d'expérience, la compréhension de cette conjecture nécessite plusieurs semaines de travail !
» Citons tout de même l'énoncé de cette conjecture : Considérons une courbe elliptique sur Q. La conjecture de Birch et Swinnerton-Dyer prédit que l'ordre d'annulation de la fonction L de cette courbe elliptique en s=1 est égal au rang de cette même courbe. Elle prédit même la valeur du premier terme non-nul dans le développement limité en s=1 de cette fonction L.
» Pour le moment, la conjecture de Birch et Swinnerton-Dyer a été démontrée seulement dans des cas particuliers.
Les enjeux ne concernent pas d'autres domaines que les maths : la démonstration de cette conjecture permettrait, entre autres, une meilleure connaissance des nombres entiers.
Mais on peut tout à fait imaginer des applications inédites qui en découleraient.
