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| La conjecture de Hodge fait appel à de la géométrie qu'on ne peut pas visualiser. Photo © DR |
| "On n'a même pas de pistes sérieuses" |
Ce n'est pas forcément le défi le plus difficile à résoudre, mais certainement le plus ardu à comprendre tant il demande des connaissances avancées en mathématiques.
La conjecture de Hodge a été proposée en 1950 par un Britannique, Sir Hodge.
Son degré d'abstraction est élevé : il est question de calcul différentiel appliqué sous une forme générale, et non pas aux nombres ni réels ni complexes. Tentons tout de même de nous approcher du sujet.
La géométrie sans ses figures
Au XVIIe, Descartes montre comment exprimer la géométrie à l'aide de l'algèbre. On peut définir une droite ou un cercle par une équation.
Au XIXe, les chercheurs s'aventurent plus loin : ils définissent des objets géométriques, appelés variétés algébriques, à partir de l'algèbre. On ne peut pas forcément les visualiser mais il n'empêche : c'est de la géométrie sans figures.
On peut faire pire : grâce au calcul différentiel, on peut définir des objets H, qui non seulement ne peuvent pas être visualisés, mais en plus, ne peuvent pas être décrits par algébriquement (mais qui sont obtenus de manière algébrique à partir d'autres objets).
» L'énoncé : toute forme différentielle harmonique (d'un certain type) sur une variété algébrique projective non singulière est une combinaison rationnelle de classes de cohomologie de cycles algébriques.
» La conjecture de Hodge établirait un lien entre 3 disciplines : la topologie, la géométrie algébrique et l'analyse.
On connaît un cas particulier, démontré en 1925 par un Américain. Mais rien depuis. Aujourd'hui, on peut même avouer qu'on n'a même pas de pistes sérieuses.
