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ANALYSE |
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La révolution fractale ingrate avec l'informatique ? |
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L'ordinateur a été essentiel dans l'étude de la géométrie fractale. Mais s'il a notamment permis de produire l'étonnant ensemble de Mandelbrot, il n'a que modestement bénéficié d'applications issues de cette branche bien particulière des mathématiques.
(25/11/2004)
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Aujourd'hui, le terme fractal, pourtant relativement récent (1975) est devenu sinon courant du moins répandu. Il conserve pourtant un certain ésotérisme, car si nombre de gens ont déjà vu "des fractales" - par abus de langage, ce terme désigne indiféremment des ensembles ou des courbes fractal(e)s -, beaucoup seront certainement en peine s'il s'agit de définir précisément le concept.
L'étude des fractales, qui est l'étude d'une géométrie, n'a vraiment été possible qu'avec l'informatique. Certes, bien avant que le mathématicien français Benoït Mandelbrot ne forge le mot, certaines des courbes (dites aujourd'hui) fractales avaient déjà été étudiées (par Von Koch et d'autres), mais c'est avec les capacités de calcul des ordinateurs qu'ont pu être réalisées nombres de graphismes étonnants tirés des propriétés des fractales, tout autant qu'a pu être exploré le monde mystérieux des phénomènes "chaotiques".
Cette exploitation pourtant n'a sans doute pas bien rendu à l'informatique ce que celle-ci lui avait apporté. Les applications des fractales dans l'industrie logicielle se sont en effet essentiellement cantonnées au codage d'images avec un minimum de données, branche qui a toutefois été féconde (notamment dans le monde des jeux vidéo) mais qui n'a jamais vraiment, pour la compression d'images existantes, rivalisé avec les méthodes les plus efficaces.
Rappelons qu'un objet fractal est doté d'une propriété dite d'autosimilitude (ou similitude interne) : c'est à dire qu'on y observe une invariance par changement d'échelle. Pour être plus prosaïque, si l'on "zoome" d'un facteur suffisant sur une partie de la courbe (ou d'une surface, ou d'un volume, suivant la dimension), on retrouve la structure et la topologie de celle-ci à sa taille initiale. Un zoom plus grossissant encore reproduit le phénomène, aussi loin qu'on puisse aller. Par nature les courbes fractales (du latin fractus, "brisé") ne sont donc pas "lisses".
| Des courbes étonnamment riches à partir d'équations élémentaires |
Les courbes fractales sont reliées à la théorie du chaos : celle-ci constate que certaines suites mathématiques (une condition nécessaire mais non suffisante est que leurs équations soit non linéaires, c'est à dire "comportant des carrés") se caractérisent par une sensibilité extrême aux conditions initiales : il est impossible de prédire le comportement de la suite après n itérations (convergence ou divergence) dans une certaine région du plan ou de l'espace, tout simplement parce qu'un point initial donné et son voisin immédiat, quelle que soit l'échelle, produiront deux comportements très différents (convergence ou divergence de la suite qu'ils initient, à des vitesses plus ou moins rapides).
On entend souvent des phrases du genre : "un battement d'aile de papillon en Chine provoque une tempête en Europe"
pour décrire le chaos, traduisant cette sensibilité aux conditions initiales (une infime variation du point de départ traduit un phénomène final extraordinairement différent). Propriété étonnante qui trouve des expressions un peu partout (de l'évolution des cours de bourse à la "mesure de la longueur de la côte de la Bretagne" en passant par la forme des fougères !), l'aspect fractal est donc relié au chaos mathématique par la notion d'invariance d'échelle : les mêmes structures (mathématiques) globales se reproduisent à l'identique, mais avec des tailles différentes, plus on augmente le "maillage" avec lequel on découpe l'espace dans lequel elles se déploient.
C'est ainsi qu'on construit le fameux ensemble de Mandelbrot, "découvert" (tant son incroyable complexité lui confère un statut d'objet platonicien) en testant la vitesse de convergence ou de divergence d'une suite simple, en tout point de l'espace. Sans l'informatique, il n'aurait pas été possible d'obtenir ce type de figures intriguantes, mais dont les applications pratiques ne sont pas légion. Le monde du jeu vidéo a su néanmoins tirer profit de la capacité des fractales à créer des "paysages" complexes et extraodinairement variés (quoiqu'intrinséquement "réguliers" par changement d'échelle) à partir d'équations très simples, moyennant une vitesse de calcul acceptable.
Et puis il y a la compression. Il ne s'agit plus de "générer", mais en quelque sorte d'opérer la procédure inverse. L'idée est de stocker l'image en l'approximant à l'aide de courbes fractales. Celles-ci reposant sur des équations simples comme nous l'avons vu, elles nécessitent peu de données pour être stockées.
Les travaux fondateurs de Michael Barnsley puis d'Arnaud Jacquin permettront d'aboutir à des résultats satisfaisants (poids faible de l'image compressée, pas de "pixélisation" quoiqu'il s'agisse d'une compression avec pertes) mais malheureusement trop lents par rapport à la compression JPEG par l'exemple. De fait, ce n'est pas la compression fractale qui s'est imposée pour ce type d'usage. Acte (un peu) manqué de rétribution à tout ce que l'informatique a apporté à l'étude des fractales. |
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Sciences & Informatique
