Friandise mathématique
Le jeu de la vérité (solution)

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(Article modifié le 28/07/2005)

Voici une solution posisble :

1	fois le chiffre	0
7	fois le chiffre	1
3	fois le chiffre	2
2	fois le chiffre	3
1	fois le chiffre	4
1	fois le chiffre	5
1	fois le chiffre	6
2	fois le chiffre	7
1	fois le chiffre	8
1	fois le chiffre	9

Voici une démarche possible pour arriver à la solution.

x0	fois le chiffre	0
x1	fois le chiffre	1
x2	fois le chiffre	2
x3	fois le chiffre	3
x4	fois le chiffre	4
x5	fois le chiffre	5
x6	fois le chiffre	6
x7	fois le chiffre	7
x8	fois le chiffre	8
x9	fois le chiffre	9

Chaque chiffre est présent au moins une fois, donc

Par conséquent : x0 = 1

20 chiffres sont présents dans le cadre donc : S xi = 20
(S désigne la somme)

On pense naturellement à mettre les "1" presque partout. On se doute que le "1" est présent assez souvent, disons M fois. On a donc :

1	fois le chiffre	0
M	fois le chiffre	1
... ...	fois le chiffre	... ...



M	fois le chiffre	?
... ...	fois le chiffre	... ...

On suppose alors que "M" est présent 2 fois seulement (c'est en effet probable, car M est assez grand), ce qui entraîne au moins trois présence du "2", donc 2 présences du "3". On arrive à la situation :

1	fois le chiffre	0
M	fois le chiffre	1
3	fois le chiffre	2



2	fois le chiffre	3
... ...	fois le chiffre	... ...
2	fois le chiffre	M
... ...	fois le chiffre	... ...

Et si on complète à gauche par des "1", on obtient M = 7 (6 à gauche et 1 à droite).

A la suite de deux courriers de lecteurs, nous vous proposons également la solution suivante :

1	fois le chiffre	0
11	fois le chiffre	1
2	fois le chiffre	2
1	fois le chiffre	3
1	fois le chiffre	4
1	fois le chiffre	5
1	fois le chiffre	6
1	fois le chiffre	7
1	fois le chiffre	8
1	fois le chiffre	9

En effet, nous avions supposé :

Ce qui n'était pas spécifiquement imposé dans l'énoncé.

Ce problème est extrait de 100 friandises mathématiques de Robert Feracoglou et Michel Lafond (Ellipses). Il a été soumis aux candidats du Rallye mathématique des lycées de Bourgogne en 1984.

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