|
La rigueur du raisonnement est aussi importante que
la réponse exacte :
17 convives.
Deux méthodes sont envisageables.
1ère méthode
Il y a 6 dispositions possibles des convives A (Adam),
B (Bill), C (Colette), D (Denis) autour de la table.
ABCD - ABDC - ACBD - ACDB - ADBC - ADCB
La première disposition avec les données
de l'énoncé donne :
6 + 1 + 12 + 1 + 9 + 1 + 3 + 1 = 34
34 convives : ce résultat est impossible
puisque le nombre de convives est impair (plusieurs
couples et Adam)
La deuxième disposition donne 6 personnes entre
A et B, x personnes entre B et D, donc 11 - x
personnes entre D et C (puisqu'il y en a 12 entre B
et C), et 9 - 8 - x entre C et A (puisqu'il y
en a 9 entre C et D). Ce dernier nombre étant
positif, il en résulte que x = 0 ou x
= 1, ce qui donnerait au moins 10 personnes entre D
et C. C'est impossible car il n'y a que 3 personnes
entre D et A.
La troisième disposition donne 3 personnes entre
D et A, x personnes entre A et C. Il y a donc
6 - 1 - x = 5 - x personnes entre C et
B et 12 - 3 - 2 - x = 7 - x personnes
entre B et D. Le nombre de personnes entre C et D fournit
alors :
(5 - x) + 1 + (7 - x) = 9, d'où
x = 2.
Cette disposition est possible et donne un total de
17 convives.
La quatrième disposition donne davantage de personnes
entre A et B qu'entre C et D; elle est donc impossible.
La cinquième disposition donne davantage de personnes
entre D et A qu'entre C et D; elle est donc impossible.
La dernière disposition donne au maximum 2 personnes
entre C et A, donc au moins 6 personnes entre A et D
(car il y en a 9 entre C et D) et par suite au moins
8 entre A et B, ce qui est contradictoire. Cette disposition
ne convient pas non plus.
Conclusion : la seule disposition possible est
ACBD, avec 2 personnes entre A et C, 3 personnes entre
C et B, 5 personnes entre B et D et 3 personnes entre
D et A. Le nombre total de convives est 17.
2ème méthode
On va de A vers A en comptant en tout :
6 + 1 + 12 + 1 + 9 + 1 + 3 + 1 = 34
Cela en un nombre entier de tours exactement.
Ainsi, le nombre n de convive est divisible par
un diviseur de 34.
De plus, il est clair que n est impair et supérieur
ou égal à 5.
La seule possibilé est : n = 17.
Il reste alors à montrer qu'il existe une disposition
des 17 convives correspondant aux données de
l'énoncé.
Ce problème est extrait de 100 friandises
mathématiques de Robert Feracoglou et Michel
Lafond (Ellipses).
Il a été soumis aux candidats du Rallye
mathématique des lycées de Bourgogne en
1999.
|
