Friandise mathématique
L'âge du capitaine (solution)

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La solution exacte demande un peu de mathématiques, avec un rien de logique et un zeste d'astuce. Mais aussi de la ténacité et quelque peu de bon sens, car le problème sort un peu des sentiers battus.

Voici la solution : le capitaine a 50 ans.

Puisque la décomposition en facteurs premiers de 2450 est :
2450 = 2 x 5² x 7²

Les seules possibilités raisonnables des âges sont, compte tenu de ce que leur somme doit être un multiple de 4 :

âge des deux fillles	âge de M. Dupont	somme	âge du fils
2 et 25	49	76	19
5 et 5	98	108	27
5 et 10	49	64	16
7 et 10	35	52	13
7 et 7	50	64	16

Comme le fils (qui connaît son propre âge, donc la somme) répond "il me manque une donnée", c'est qu'il est dans la seule situation ambiguë, celle où la somme est 64, la seule correspondant à deux possibilités distinctes. Dans tout autre cas, il aurait pu conclure directement à ce niveau.

Donc la somme est 64 et le fils a 16 ans.

Dans les deux cas possibles, M. Dupont a soit 49 ans, soit 50 ans. Puisque le capitaine est plus âgé que M. Dupont, le capitaine ne peut avoir 49 ans ou moins, il a donc 50 ans ou plus.
Mais si le capitaine avait strictement plus de 50 ans, le renseignement "je suis plus âgé que M. Dupont" n'aurait pas permis au fils, qui connaît l'âge de son père, de trouver la réponse.

Conclusion :
Le capitaine a 50 ans, M. Dupont a 49 ans, ses filles ont 5 et 10 ans.

Ce problème est extrait de 100 friandises mathématiques de Robert Feracoglou et Michel Lafond (Ellipses). Il a été soumis aux candidats du Rallye mathématique des lycées de Bourgogne en 1998.